卷二 | 五、解方程
讲解
卷二中的这一考点可谓是“毫无人性”的送分题，包括二元一次方程和一元二次方程。如何解方程，这里就不过多赘述了，只提供一些历年真题作为参考；但需要注意的是，因为DSE数学考试中允许考生使用Casio fx-50FH II或Casio fx-3650P II等可编程计算器，所以一元二次方程、一元三次方程、二元一次方程和三元一次方程都可以用计算器来计算。（附录中会介绍详细的计算器编程使用指南）
Exam Style Exercises
1. 若 $2m+3n+8=3m-n=10$，则 $n=$
A. -5
B. 0
C. 2
D. 4
从方程$2m + 3n + 8 = 10$，我们得到$2m + 3n = 2$。从方程$3m - n = 10$，我们得到$n = 3m - 10$。
将$n = 3m - 10$代入$2m + 3(3m - 10) = 2$，解得$m = 4$。
再将$m = 4$代入$n = 3m - 10$，解得$n = 2$。
2. 设 $k$ 为常数。解方程 $(x - k)^2 = 5k^2$
A. $x = -2k$
B. $x = -k$ 或 $x = 3k$
C. $x = k$ 或 $x = -3k$
D. $x = -3k$ 或 $x = 2k$
$(x - k)^2 = 5k^2 \implies x - k = \pm \sqrt{5k^2} \implies x = k \pm \sqrt{5k^2} \implies x = -2k \text{ 或 } x = 3k$
3. 设 $a$ 为常数。若二次方程 $x^2 + ax + a = 1$ 有等根，则 $a=$
A. -2
B. 3
C. 2 或 -4
D. 2 或 4
$x^2 + ax + a = 1 \implies x^2 + ax + (a - 1) = 0$
有等根 \implies b^2 - 4ac = 0 \implies a^2 - 4(a - 1) = 0 \implies a^2 - 4a + 4 = 0 \implies (a - 2)^2 = 0 \implies a = 2$
4. 若 $2p + 3q = 6$ 及 $4p + 7q = 5$，则 $p=$
A. -3
B. -1
C. 1
D. 3
$2p + 3q = 6$
$4p + 7q = 5$
联立方程解得$p = -1$
5. 若 $\beta$ 为方程 $3x^2 - 7x - 2 = 0$ 的根，则 $9 + 8\beta - 5\beta^2 = $
A. 3
B. 5
C. 7
D. 9
设 $\beta$ 为方程 $3x^2 - 7x - 2 = 0$ 的根。
利用根的性质，$3\beta^2 - 7\beta - 2 = 0$。
代入$9 + 8\beta - 5\beta^2 = 9 + 8\beta - 5\left(\frac{7 + \sqrt{73}}{6}\right) = 3$
6. 若 $3\alpha + 4\beta = 5\alpha + 2\beta = 7$，则 $\beta=$
A. -3
B. -1
C. 1
D. 3
$3\alpha + 4\beta = 7$
$5\alpha + 2\beta = 7$
联立方程解得$\beta = -1$
7. 若 $k$ 为一常数使得二次方程 $x^2 + kx + 9k + 25 = 0$ 有等根，则 $k=$
A. -5
B. 11
C. -3 或 35
D. -19 或 3
$x^2 + kx + 9k + 25 = 0$
有等根 $\implies b^2 - 4ac = 0 \implies k^2 - 4(9k + 25) = 0 \implies k^2 - 36k - 100 = 0 \implies (k - 19)(k + 3) = 0 \implies k = -3 \text{ 或 } k = 35$
8. 若 $4x - 9y = 30$ 及 $3x + 11y = 30$，则 $y=$
A. -5
B. 1
C. 3
D. 7
$4x - 9y = 30$
$3x + 11y = 30$
联立方程解得$y = -5$