卷二 | 六、估算与误差
讲解
卷二中会考察一些来自初中体系的内容，这些内容未必很难，但是对于国内考生来说不一定熟悉，其中的第一个典型例子是估算和误差，每次考试通常只会考一个相关题目。
有效数字：从第一个非零数位起的位数称为有效数字。
- 0.0012有2位有效数字。
- 0.0102有3位有效数字
舍入：将一个数化约到指定的位数。
- 1.23456=1.23（舍入至2位小数）
- 1.23456=1.3（上舍入到2位有效数字）
- 1.23456=1（下舍入到个位）
误差：
- 绝对误差：测量值和真确值（准确值）之差
- 最大绝对误差：测量工具最小刻度的$\frac{1}{2}$
- 因此，真确值的
- 上限为测量值 $+$ 最大绝对误差
- 下限为测量值 $-$ 最大绝对误差
- 相对误差：这个概念在DSE中比较模糊，有时候是“绝对误差÷真确值”，如果没有告知真确值的话则是“最大绝对误差÷测量值”
- 百分误差：相对误差$\times 100 %$（转换成百分数）
例1. 有28条木条长度为21cm，木条的总长度是否可能为5.70m，准确到最接近的0.01m？
解：木条最小总长度$=(20.5)(28) \mathrm{cm} =574 \mathrm{~cm} =5.74\mathrm{m}>5.70\mathrm{m}$
所以，不可能。
例2. 将3kg（准确至最接近的kg）的胡椒粉分成$n$罐，使每罐胡椒粉的重量为7.5g（准确至最接近的0.5g），求$n$的最大可取值？
解：胡椒粉总重量的上限$=3+0.5\times1=3.5\mathrm{kg}=3500\mathrm{g}$，每罐胡椒粉的重量的下限$=7.5-0.5\times 0.5=7.25\mathrm{g}$，$n<\frac{3500}{7.25}\approx482.76$ 最大可取值为482。此处不等号不包括等于的情况。
例3. 长方形的长和宽分别为8cm和6cm，均准确到最接近的cm，求计算该正方形周界时的最大百分误差。
解：周界的测量值为$8+8+6+6=28\mathrm{cm}$，周界的上限为$8.5+8.5+6.5+6.5=30\mathrm{cm}$，百分误差为$\frac{2\mathrm{cm}}{28\mathrm{cm}}\times 100%=7.14%$，下限的计算方法是相同的，并且百分误差也会相同。
历年真题
- 0.0322515=
A. 0.032 (準確至三位有效數字)。
B. 0.0322 (準確至四位小數)。
C. 0.03225 (準確至五位有效數字)。
D. 0.032252 (準確至六位小數)。
（2012Q13） - 一條幼繩的長度量得 $25 \mathrm{~m}$ 準確至最接近的 $\mathrm{m}$ 。若將該繩分割爲 $n$ 條使每條均量得 $5 \mathrm{~cm}$ 準確至最接近的 $\mathrm{cm}$, 求 $n$ 的最大可取值。
A. 445
B. 566
C. 567
D. 650
（2012Q14） - $0.0504545=$
A. 0.051 (準確至二位有效數字)。
B. 0.0505 (準確至三位小數)。
C. 0.05045 (準確至四位有效數字)。
D. 0.05046 (準確至五位小数)。
（2013Q4） - 一長方形金屬薄片的闊度及長度分別量得 $8 \mathrm{~cm}$ 及 $10 \mathrm{~cm}$ 準確至最接近的 $\mathrm{cm}$ 。設 $x \mathrm{~cm}^2$ 愛 該金屬片的實際面積。求 $x$ 值的範圍。
A. $71.25 \leq x<89.25$
B. $71.25<x \leq 89.25$
C. $79.5 \leq x<80.5$
D. $79.5<x \leq 80.5$
（2014Q11） - 0.0023456789=
A. 0.00235 (準確至六位小數)。
B. 0.002345 (準確至六位小數)。
C. 0.002346 (準確至六位有效數字)。
D. 0.00234568 (準確至六位有效數字)。
（2015Q4） - 0.0765403=
A. 0.076 (準確至二位有效數字)。
B. 0.0765 (準確至三位小數)。
C. 0.07654 (準確至四位有效數字)。
D. 0.076540 (準確至五位小數)。
（2016Q4） - 若 $0.06557<x<0.06564$, 則下列何者正確?
A. $x=0.065$ (準確至二位小數)
B. $x=0.065$ (準確至二位有效數字)
C. $x=0.0656$ (準確至三位小数)
D. $x=0.0656$ (準確至三位有效數字)
（2019Q6） - 三角形的三邊邊長分別量得 $15 \mathrm{~cm} 、 24 \mathrm{~cm}$ 及 $25 \mathrm{~cm}$ 。若該三個量度均準確至最接近 的 $\mathrm{cm}$, 求當計算該三角形周界時其百分誤差準確至最接近的 $0.1 %$ 。
A. $0.8 %$
B. $2.3 %$
C. $4.7 %$
D. $6.3 %$
（SP 2012Q15）
圖中, PQRST 為五邊形, 其中所有的量度均华確至最接近的 $\mathrm{cm}$ 。設 $A \mathrm{~cm}^2$ 為該五邊形 的實際面積。求 $A$ 值的範圍。
A. $27.83 \leq A<31.83$
B. $44.75 \leq A<60.75$
C. $46.75 \leq A<63.25$
D. $48.25 \leq A<64.75$
（2020Q14）
圖中, $A B C D E F G H$ 為八邊形, 其中所有的量度均準確至最接近的 $\mathrm{cm}$ 。設 $x \mathrm{~cm}^2$ 為 該八邊形的實際面積。求 $x$ 值的範圍。
A. $13<x<23$
B. $13<x<27$
C. $17<x<23$
D. $17<x<27$
（2018Q14）